Πολλές φορές κατά τη διάρκεια του μαθήματος οι μαθητές μου κάνουν την ερώτηση “και που θα μας χρησιμεύσουν αυτά κύριε ;”

Που θα μου χρησιμεύσουν τα μαθηματικά ;

Τι είναι τα μαθηματικά ;

Ο Ντάνι Γκέτζ στο βιβλίο του “Εξηγώντας τα  μαθηματικά στις κόρες μου “απαντάει  σε πολλά παρόμοια ερωτήματα  όπως :
Μήπως είναι προτιμότερο ένα σύμπαν όπου δεν αιτιολογούνται τα πάντα;
• Γιατί υπάρχουν περιπτώσεις ισότητας αποκλειστικά για τα τρίγωνα;
• Τα τετράπλευρα έχουν όλα έναν περιγεγραμμένο κύκλο;
• Γιατί η γεωμετρία είναι τόσο σημαντική;
• Σε τι χρησιμεύει ο αριθμός π και πότε τον ανακάλυψαν;Με τι ισούται ακριβώς;
• Γιατί είναι τόσο σημαντικό το Πυθαγόρειο θεώρημα;

Τι είναι η μαθηματική απόδειξη; Γιατί είναι τόσο σημαντική;

• Τι είναι τα θεωρήματα; Αυτά υπήρχαν πάντα;
• Γιατί πρέπει να μαθαίνουμε απ’ έξω τα θεωρήματα;
• Γιατί δεν λέμε «το θεώρημα γίνεται ψευδές»;
• Οι μαθηματικές αλήθειες ισχύουν αιώνια;!
• Τελικά τι είναι η λογική; Κάθε σκέψη είναι λογική;
• Τα μαθηματικά και η φιλοσοφία είναι  άλληλένδετα, αλλά αυτό στο σχολείο δεν το βλέπουμε ποτέ.

Αρκεί να ξεχάσω μια λέξη και είναι εντελώς λάθος, όχι λίγο λάθος!
• Κι όμως αυτό είναι ένα από τα πιο σημαντικά πράγματα που μπορούν να σου προσφέρουν τα μαθηματικά: η ακριβολογία.
Δεν πρόκειται για μονομανία, αλλά είναι μια ιδιότητα των μαθηματικών που μπορεί να «χρησιμεύσει» παντού.
Μήπως η ίδια η γλώσσα που μιλάμε δεν απαιτεί ακριβολογία; Μπορεί κανείς να σκεφτεί οποιαδήποτε επιστήμη που δεν έχει ανάγκη την ακριβολογία;

Υπήρχαν πάντα αριθμοί;
• Οι αριθμοί επινοήθηκαν στις απαρχές της ανθρωπότητας για να απαντήσουν στο ερώτημα «πόσα;». Πόσα παιδιά, πόσα ζώα στο κοπάδι,
πόσες μέρες ως την  επόμενη ,πανσέληνο. Είναι μια από τις μεγαλύτερες επινοήσεις της ανθρωπότητας και χάρη σ’ αυτούς μπορούμε να
απαριθμούμε, να μετράμε μεγέθη, να υπολογίζουμε.

Σε τι διαφέρει το δυαδικό από το δεκαδικό σύστημα αρίθμησης και γιατί είναι τόσο σημαντικό; 

• Το δυαδικό σύστημα χρησιμοποιεί δύο μόνο ψηφία – χαρακτήρες, το 0 και το 1 (απουσία – παρουσία). Δεδομένου δε ότι μια μηχανή καταλαβαίνει
μόνο την απουσία – παρουσία ηλεκτρικού ρεύματος, μας επιτρέπει εύκολα να επικοινωνούμε με τις μηχανές.

Γιατί η διαίρεση είναι πιο σημαντική από τον πολλαπλασιασμό;
• Η διαίρεση μας δίνει για έναν αριθμό  περισσότερες και πιο χρήσιμες πληροφορίες από τα πολλαπλάσια του οποία άλλωστε είναι άπειρα).
Γνωρίζοντας τους διαιρέτες ενός αριθμού ,μπορούμε να τον «αποδομήσουμε», να φτάσουμε στους θεμελιώδεις λίθους του.

Είναι τόσο σημαντικοί οι πρώτοι αριθμοί;
•Πάντα η ίδια ιδέα ,στη χημεία, στη βιολογία,στα μαθηματικά:υπάρχουν άραγε ορισμένα στοιχεία μιας οικογένειας που μας επιτρέπουν να κατασκευάσουμε
όλη την οικογένεια; Στη χημεία τα άτομα (σήμερα τα λεπτόνια και τα αδρόνια ), στη βιολογία τα κύτταρα, στα μαθηματικά οι πρώτοι αριθμοί! Για τούτο
θεωρούνται και τόσο σπουδαίοι.

Και η επιμεριστική; 

• Είναι ένα παιχνίδι μεταξύ πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού που μετατρέπει εκφράσεις σε άλλες πιο πρακτικές για την ,εργασία μας.(Οι δυνάμεις επίσης
είναι ένα «πέρασμα» μεταξύ πολλαπλασιασμού και πρόσθεσης). Είναι ένα βασικό εργαλείο για να κάνουμε πράξεις χωρίς χαρτί και μολύβι, είναι ο
τρόπος που δουλεύει το μυαλό μας κι είναι πολύ  σημαντικό να ξεκολλήσει ο ,μαθητής ,από την αποστήθιση του αx(β+γ)=αxβ +αxγ, όταν αναφέρεται
σ’ αυτήν, και να την κάνει εργαλείο του.

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ: 

Σημεία, ευθείες, ευθύγραμμα τμήματα, κλειστά σχήματα, τα όντα της.
• «Δύο διακριτά σημεία ορίζουν μια ευθεία».
Δεν αρκεί «Δύο σημεία ορίζουν μια ευθεία»;
• Η έκφραση που οι περισσότεροι μαθητές μας έχουν στο μυαλό τους είναι μάλλον η δεύτερη .Να ένα παράδειγμα όπου απαιτείται ακρίβεια και προσοχή στη
λεπτομέρεια. Τα δύο σημεία, ακόμα κι αν έχουν διαφορετικό όνομα δεν αποκλείεται να ταυτίζονται .

Να διευκρινίζουμε που είναι αληθές το αληθές;
• Ωστόσο μιλώντας για την ευθεία έρχεται στο νου μας και ο ορισμός της: «ο συντομότερος δρόμος μεταξύ δύο σημείων».
Ναι, αλλά στο επίπεδο. Δεν ισχύει το ίδιο πάνω στη σφαίρα για παράδειγμα. Ιδού λοιπόν και η αναγκαιότητα του που είναι αληθές το αληθές.
Στα μαθηματικά αναζητούμε βεβαιότητες, ό,τι αποδεικνύεται θα ισχύει για πάντα, αλλά θα ισχύει με τις προϋποθέσεις υπό τις οποίες  τέθηκε.

Γιατί  αφιερώνουμε τόσο πολύ χρόνο στα τρίγωνα; Τι τα κάνει τόσο σημαντικά; 

• Είναι το μικρότερο κλειστό ευθύγραμμο σχήμα, δεν μπορώ να κατασκευάσω κλειστό χώρο με λιγότερα από τρία ευθύγραμμα τμήματα.
Με τα τρίγωνα μπορώ να κατασκευάσω όλα τα πολύγωνα (κάτι σαν δομικός λίθος;).

• Το κινέζικο παιχνίδι με τα τρίγωνα και τα παραλληλόγραμμα – άρα κι άλλα τρίγωνα – μπορεί να χρησιμοποιηθεί όταν δουλεύουμε με
μικρότερα παιδιά για να δουν του λόγου μας το αληθές. Ο τρόπος που έμαθαν στο σχολείο τα λίγο μεγαλύτερα παιδιά για να υπολογίζουν εμβαδά
τυχαίων πολυγώνων (τα χωράφια  μας δεν είναι υποχρεωμένα να έχουν σχήμα με γνωστό τύπο υπολογισμού του εμβαδού του) είναι άλλη μια επιβεβαίωση.

Ορατότητα του τριγώνου:
«Σε κάποιο σημείο ενός δρόμου τοποθέτησε στο έδαφος  ένα τρίγωνο, ένα τετράγωνο, έναν κύκλο, και απομακρύνσου.Ποιο απ’ όλα φαίνεται καλύτερα;
Για ποιο λόγο επιλέχθηκε το τρίγωνο  ως προειδοποίηση για τον κίνδυνο;» Το τρίγωνο έχει υποχρεωτικά μια οξεία γωνία, μια αιχμή, για τούτο είναι πιο ευδιάκριτο.
• Τα τρίγωνα έχουν πολλά  χαρακτηριστικά σημεία (ορθόκεντρο, βαρύκεντρο, έγκεντρο, παράκεντρα), επιπλέον είναι όλα εγγράψιμα σε κύκλο, κάτι που ισχύει
υπό προϋποθέσεις για  τα υπόλοιπα κλειστά επίπεδα σχήματα.

Γιατί είναι τόσο σημαντικό το Πυθαγόρειο θεώρημα;
• Η δράση εκτυλίσσεται σε ένα τρίγωνο όπου, κατά το θεώρημα, μια πληροφορία για μια γωνία, παρέχει μια ,πληροφορία ,για τις πλευρές, και Η σχέση ανάμεσα
σε μήκη μας παρέχει ένα μέσο για να
κατασκευάζουμε ορθές γωνίες (ρωτήστε να οικοδόμο για το πώς «γωνιάζει» στο κτίσιμο). Αντίστροφα, η πληροφορία για τη γωνία μας επιτρέπει από δύο μήκη/πλευρές να υπολογίζουμε ένα τρίτο. Μια σύνδεση ανάμεσα σε γωνίες και πλευρές.

Στα μαθηματικά όλα δικαιολογούνται, έχουν μια αιτία. Μήπως είναι προτιμότερο ένα σύμπαν  όπου δεν αιτιολογούνται τα πάντα;

«Η εξήγηση δεν καταργεί το θάμπωμα. Οταν λυθεί το μυστήριο απομένει η ομορφιά, που είναι ακόμα μεγαλύτερη όταν γνωρίζουμε από πού πηγάζει.» Δεν έπαψε να μας γοητεύει ηπανσέληνος, το φεγγαρόφωτο, αφότου ανθρώπινο πόδι πάτησε στη σελήνη και μας διαβεβαίωσαν ότι πρόκειται για έναν έρημο, άγονο, μη κατοικήσιμο πετρότοπο.

Ούτε η γνώση του τι είναι τα αστέρια, ποιες πυρηνικές αντιδράσεις προκαλούν το φως τους, μας έκανε να  νιώθουμε λιγότερο δέος, λιγότερη ,μαγεία όταν το βράδυσηκώνουμε το βλέμμα στον έναστρο ουρανό.

• Προσωπικά μετά την ανάγνωση της «αυτοβιογραφίας του φωτός» ,του Γ. Γραμματικάκη, άρχισα να βλέπω κι άλλα πράγματα στο φως, να νιώθω αλλιώς το
φως πριν , το ηλιοβασίλεμα, μέχρι που ξεπέρασα και τη μελαγχολία που με έπιανε κάθε που σουρούπωνε…

Μεταβλητές, παράμετροι! Ποια η διαφορά τους; 

• Η γλώσσα της άλγεβρας είναι λίγο πιο διευρυμένη από της αριθμητικής. Οι αριθμοί, γράμματα για τις μεταβλητές, τους αγνώστους, τις παραμέτρους,
τα σημεία των τεσσάρων πράξεων και ορισμένα σύμβολα: =,>,<, ( ),[ ], { },οι εκθέτες και τα ριζικά. Οι παράμετροι μας επιτρέπουν να γράψουμε τη
γενική μορφή μιας εξίσωσης.

ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΙ ΔΕΣΜΟΙ
Στη στριφνή γεωμετρία δεν κατορθώνω να δω το χώρο. Τι κάνω;
• Στα μαθηματικά όπως και αλλού δίνω ένα όνομα στα αντικείμενα για να μπορώ να αναφέρομαι σ’ αυτά.
Στη γεωμετρία ονομάζω σημαίνει τοποθετώ. Τοποθετώ σημαίνει ότι χρειάζομαι ένα σύστημα αναφοράς: στην ευθεία, στο επίπεδο, στο χώρο .Ετσι προέκυψαν οι καρτεσιανές συντεταγμένες και η αναλυτική γεωμετρία

Αναλυτική γεωμετρία!Δεν μοιάζει λίγο με τους χάρτες;
• Μοιάζει. Μια χαρτογράφηση στο ,επίπεδο. Μόνο που εδώ αντί να ψάχνουμε το δρόμο μας, χρησιμοποιούμε όλον αυτό το μηχανισμό κυρίως για να αναπαριστούμε συναρτήσεις. Οταν η μεταβολή ενός μεγέθους συνεπάγεται την με κάποιο τρόπο μεταβολή και ενός άλλου μεγέθους οι συναρτήσεις μας δείχνουν ακριβώς το πώς το ένα μέγεθος εξαρτάται από το άλλο.

Κάποιοι τις παρομοιάζουν με  μηχανές με είσοδο και έξοδο: βάζεις έναν  αριθμό στην είσοδο και παίρνεις έναν άλλο στην έξοδο που προκύπτει από τον πρώτο με
βάση τη συνάρτηση/σχέση τους ,που έχεις περιγράψει.

•Η αποτελεσματικότητα των μαθηματικών στη μελέτη των συναρτήσεων εξηγεί την επιτυχή εφαρμογή τους στη φυσική, την αστρονομία και αλλού. 

Μέσω της αναλυτικής γεωμετρίας η συνάρτηση αντιστοιχίζεται σε μια καμπύλη. Ετσι η μελέτη της  συνεπικουρείται από τη γεωμετρία, αλλά και η γεωμετρία
έχει πλέον ένα επιπλέον εργαλείο για την μελέτη/ επίλυση των προβλημάτων της, την άλγεβρα.

ΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ
• Συχνά καταλαβαίνω το  μάθημα αλλά δεν μπορώ να λύσω τα προβλήματα
• Πως μπορείς να κινηθείς για να λύσεις ένα  πρόβλημα;
• Στις εξετάσεις μάλιστα το ακούμε συμπληρωμένο από το «αν γράψω μόνο τη θεωρία δεν περνάω το μάθημα;» ή «εγώ της θεωρητικής υπολογίζω μόνο στην θεωρία,
αν ήξερα να λύνω και προβλήματα θα πήγαινα και σε άλλη κατεύθυνση».

Υπάρχουν «κακά» προβλήματα;  • Τι σημαίνει καλό πρόβλημα στα μαθηματικά;
Σημαίνει καλές, γόνιμες υποθέσεις, καλές ερωτήσεις. Ορισμένες υποθέσεις δεν είναι γόνιμες, άρα οδηγούν σε «κακά» προβλήματα. Εδώ πρέπει να γίνει κι η διάκριση ανάμεσα στα κακά και στα κακώς διατυπωμένα προβλήματα.(Θυμάμαι τη φράση  του συμβούλου που είχα όταν δούλεψα για πρώτη φορά σε σχολείο: «η
πιο άστοχη και ανόητη ερώτηση που μπορείτε να βάλετε σε διαγώνισμα εξετάσεις είναι: τι γνωρίζετε για το τάδε θέμα.»

Ο ΣΥΛΛΟΓΙΣΜΟΣ

Τι είναι η μαθηματική απόδειξη; Γιατί είναι τόσο σημαντική;

• Μια απόδειξη είναι ένα πειστικό επιχείρημα που γίνεται κοινά αποδεκτό.
•Μια μαθηματική απόδειξη κατευθύνεται από την υπόθεση προς το συμπέρασμα ακολουθώντας ένα δρόμο που αποτελείται από μια σειρά λογικών επιχειρημάτων, το καθένα από τα οποία είναι συνέπεια του προηγούμενου και αιτία του επόμενου .

Τελικά τι είναι η λογική; Κάθε σκέψη είναι λογική;

• Είναι η επιστήμη που μελετά τους κανόνες της ορθολογικής σκέψης.
Ο απόλυτος νόμος που διέπει τη λογική σκέψη είναι η αρχή της μη αντίφασης .Μια δεύτερη σημαντική, ιδίως για τα μαθηματικά, αρχή είναι η αρχή του αποκλειόμενου τρίτου .Από αυτήν απορρέει και η δυνατότητα της απόδειξης με την εις άτοπον απαγωγή.

Ποιες είναι οι θεμελιώδεις έννοιες των μαθηματικών;

• Είναι οι ιδέες, το νόημα. Είναι η μαθηματική γλώσσα, ο συλλογισμός, η μαθηματική  απόδειξη, τα θεωρήματα, το σημείο του ίσον, η συνεπαγωγή.Η συνεπαγωγή και η ισότητα είναι ίσως οι σημαντικότερες έννοιες των μαθηματικών, είναι θεμελιώδεις για τη διατύπωση και την εξέλιξη όλων των συλλογισμών.

Τα μαθηματικά είναι εύκολα ή δύσκολα;

• Αν απαντήσουμε ότι  είναι δύσκολα μπορεί ο μαθητής μας να φοβηθεί να ασχοληθεί με αυτά.
Αν απαντήσουμε ότι είναι εύκολα μπορεί να βρούμε μπροστά μας τη θέση: «Αν είναι εύκολα και εγώ δεν τα καταφέρνω μήπως ,είμαι ηλίθιος;
Μήπως απλά δεν έχω μαθηματικό μυαλό;».
Η να διακινδυνεύσουμε το ενδεχόμενο ο μαθητής μας  να τα παραμελήσει ,για ,να αφιερώσει το ,χρόνο και την προσοχή του σε μαθήματα πιο
«δύσκολα». Ισως στην πρώτη δυσκολία νιώσει και προδομένος από αυτόν που τον διαβεβαίωνε ότι είναι εύκολα.

Μια καλή απάντηση;

Πιθανόν η ακόλουθη: «Είναι δύσκολα, αλλά θα τα καταφέρεις, μπορείς».

ΑΝΤΙ ΕΠΙΛΟΓΟΥ
-­Σε τι χρησιμεύουν τα Μαθηματικά;
-­Ο έρωτας σε τι χρησιμεύει;
-­Συγκρίνεις τον έρωτα με τα  Μαθηματικά;
-­Οτιδήποτε σημαντικό πρέπει οπωσδήποτε να χρησιμεύει;
Τι σημαίνει χρήσιμο;

-­Ομως δεν πηγαίνω στο σχολείο για να μάθω τον έρωτα ή τη φιλία.
-­Αλλά για ,να μάθεις;
-­Να μάθω, ακριβώς αυτό.
-­Να μάθεις τι;
-­Ο,τι πρόκειται να μου χρησιμεύσει.
-­Και τι πρόκειται να σου χρησιμεύσει;
-­Αυτό οφείλεις να το ξέρεις εσύ.

πηγή :https://thalesandfriends.org/el/

Ντάνι Γκέτζ “Εξηγώντας τα μαθηματικά στις κόρες μου ”